درسنامه آموزشی فصل پنجم حسابان (2) کلاس دوازدهم علوم ریاضی

می‌دانیم که هر تابع مانند $f$ به ازای هر $x \in {D_f}$ دقیقاً یک مقدار $y$ به‌دست می‌دهد به‌طوری که $x = f(x)$ و زوج مرتب $(x,y)$ یک نقطه در دستگاه مختصات مشخص می‌کند. نمودار یک تابع، شکلی است که از همهٔ این نقاط $(x,y)$ به ازای تمام $x \in {D_f}$ها تشکیل شده است. از آنجا که هر بازهٔ زیرمجموعهٔ $\mathbb{R}$ تعداد بی‌شماری عضو دارد؛ لذا هیچ‌گاه نمی‌توان با قلم و کاغذ نمودار یک تابع را به‌طور کاملاً دقیق رسم کرد. در سال‌های گذشته با رسم نمودار توابع خطی و درجهٔ 2 به کمک نقطه‌یابی آشنا شده‌اید. در این درس با به کارگیری مطالبی که قبلاً گفته شد نقاط مهمی از نمودار تابع را به‌دست آورده و به برخی ویژگی‌های آن تابع پی می‌بریم و با استفاده از آنها شکل تقریبی تابع را رسم می‌کنیم.

مثال: اگر بدانید تابع $y = f(x)$ به گونه‌ای است که برای آن داریم:

1) ریشه‌های تابع $f$ به‌صورت $x = 1$ و $x = 0$ و $x =  - 2$ است و $f$ در همهٔ نقاط مشتق‌پذیر باشد.

2) ریشه‌های تابع $f'$ به‌صورت $x = \frac{1}{2}$ و $x =  - \frac{6}{5}$ است و علامت $f'$ بین دو ریشه منفی و سایر جاها مثبت است و $f(\frac{1}{2}) =  - 0/6$ و $f(\frac{{ - 6}}{5}) = 2$.

3) تابع $f''$ تنها یک ریشه در $x =  - \frac{1}{3}$ دارد و علامت $f''$ در سمت چپ $ - \frac{1}{3}$ منفی و در سمت راست آن مثبت است و $f( - \frac{1}{3}) = 0/7$.

در این صورت نمودار تابع $f$ را رسم کنید.

حل: از (2) نتیجه می‌شود که تابع $f$ بین نقاط $x = \frac{1}{2}$ و $x =  - \frac{6}{5}$ نزولی و سایر جاها صعودی است و $x =  - \frac{6}{5}$ و $x = \frac{1}{2}$ به ترتیب طول نقاط ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی تابع‌اند و از (3) نتیجه می‌شود که تقعر تابع $f$ قبل از $x =  - \frac{1}{3}$ رو به پایین و در سمت راست $x =  - \frac{1}{3}$ رو به بالاست و چون $f'$ در $x =  - \frac{1}{3}$ وجود دارد لذا مماس در این نقطه وجود دارد، بنابراین $x =  - \frac{1}{3}$ قطهٔ عطف این تابع است. قبل از رسم شکل می‌توان همهٔ اطلاعات فوق را در یک جدول خلاصه کرد.

با توجه به این اطلاعات و اینکه ریشه‌های تابع محل برخورد نمودار با محور $x$ها هستند نمودار تابع به‌صورت زیر است.

همان‌طور که در این مثال مشاهده کردیم ریشه‌ها و علامت توابع $f'$ و $f''$ کمک زیادی به رسم نمودار تابع می‌نماید. همچنین حد تابع در بی‌نهایت گویای رفتار و چگونگی تابع در نقاط انتهایی نموداری که رسم می‌کنیم است. به‌طور کلی برای رسم نمودار یک تابع، همه یا برخی از مراحل زیر را انجام می‌دهیم و با توجه به اطلاعات به‌دست آمده جدول رفتار تابع را تشکیل می‌دهیم و به کمک آن نمودار تابع را رسم می‌کنیم.

1) دامنهٔ تابع را مشخص می‌کنیم.
2) محل تلاقی نمودار با محورهای مختصات را مشخص می‌کنیم (در صورت وجود).
3) $f'$ را به‌دست می‌آوریم و با تعیین علامت آن بازه‌هایی که $f$ بر آنها صعودی یا نزولی است را مشخص می‌کنیم.
4) نقاط بحرانی و اکسترمم‌های نسبی تابع را به‌دست می‌آوریم (در صورت وجود).
5) $f''$ را به‌دست می‌آوریم و با تعیین علامت آن جهت تقعر تابع در بازه‌های مختلف را مشخص می‌کنیم.
6) نقطهٔ عطف تابع را مشخص می‌کنیم (در صورت وجود).
7) رفتار تابع را برای مقادیر بسیار بزرگ $x$ و بسیار کوچک $x$ مشخص می‌کنیم (در صورت وجود).
8) معادلهٔ مجانب های تابع را به‌دست می‌آوریم (در صورت وجود).
9) تنظیم یک جدول که با خلاصه کردن اطلاعات توابع $f$ و $f'$ و $f''$ در آن تشخیص چگونگی شکل نمودار آسان تر شود.
10) رسم نمودار تابع با استفاده از اطلاعات قسمت‌های قبل.
11) در صورت نیاز از نقاط کمکی هم استفاده می‌کنیم.

مثال: نمودار تابع $f(x) = {x^3}$ را رسم کنید.

حل: دامنهٔ این تابع تمام اعداد حقیقی است و این تابع در تمام دامنه‌اش پیوسته و مشتق‌پذیر است. حال با به‌دست آوردن $f'$ و $f''$ و ریشه‌های آنها و تعیین علامت آنها جدول رفتار تابع را تشکیل می‌دهیم.

$(0,0)$ محل برخورد نمودار با محورهای مختصات $f(x) = {x^3} = 0 \to x = 0 \to $

$f'(x) = {x^2} = 0 \to x = 0$

$f''(x) = 6x = 0 \to x = 0$

این تابع همواره صعودی است و اکسترمم نسبی ندارد. از طرفی $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - \infty $ لذا دو شاخۀ انتهایی نمودار در ربع های اوّل و سوم قرار دارند.

می‌توان برای دقیق‌تر شدن شکل، نقاط بیشتری از منحنی را به‌دست آورد؛ مثلاً در اینجا نقاط $(1,1)$ و $( - 1, - 1)$ نیز بر نمودار تابع واقع‌اند. با توجه به آنچه گفته شد می‌توان نمودار تابع $y = {x^3}$ را به‌صورت زیر رسم کرد.

مثال: جدول رفتار و نمودار تابع $f(x) = {(x - 1)^2}(x + 3)$ را رسم کنید.

حل: دامنهٔ این تابع $\mathbb{R}$ است و این تابع همواره پیوسته و مشتق‌پذیر است.

$x =  - 3$  یا  $f(x) = 0 \Rightarrow x = 1$

بناراین نقاط $(1,0)$ و $( - 3,0)$ محل‌های برخورد با محور $x$ها است

$x = 0 \Rightarrow y = 3$

بنابراین نقطهٔ $(0,3)$ محل برخورد با محور $y$هاست

$f'(x) = 2(x - 1)(x + 3) + {(x - 1)^2} = (x - 1)(3x + 5)$

$x =  - \frac{5}{3}$  یا  $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1$

لذا نقاط $(1,0)$ و $( - \frac{5}{3},\frac{{256}}{{27}})$ نقاط بحرانی‌اند

$f''(x) = (3x + 5) + 3(x - 1) = 6x + 2$

$f''(x) = 0 \Rightarrow x =  - \frac{1}{3}$

از آنجا که مماس بر منحنی در نقطهٔ $x =  - \frac{1}{3}$ وجود دارد و $f''$ در دو طرف نقطهٔ $x =  - \frac{1}{3}$ تغییر علامت می‌دهد، نقطهٔ $\left( { - \frac{1}{3},\frac{{128}}{{27}}} \right)$ نقطهٔ عطف تابع است، از طرفی $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - \infty $.

حال با توجه به آنچه گفته شد نمودار تابع فوق به شکل زیر است.

تابع $f(x) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ را که در آن $c \ne 0$ است تابع هموگرافیک می‌نامیم.

اگر $c = 0$ و $d \ne 0$ باشد معادلهٔ این تابع به‌صورت $y = \frac{a}{d}x + \frac{b}{d}$ تبدیل می‌شود که معادلهٔ یک خط راست است و اگر $c \ne 0$ و $d \ne 0$ و $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ باشد این تابع به یک تابع ثابت تبدیل می‌شود.

در رسم نمودار تابع هموگرافیک توجه داریم که:

$\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{ax + b}}{{cx + d}} = \frac{a}{c}$

بنابراین $y = \frac{a}{c}$ مجانب افقی این تابع است.

$ - \infty $  یا  $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \frac{d}{c}} \frac{{ax + b}}{{cx + d}} =  + \infty $

بنابراین $x =  - \frac{d}{c}$ مجانب قائم این تابع است

مثال: جدول تغییرات و نمودار تابع $f(x) = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}$ را رسم کنید.

حل: دامنهٔ این تابع ${D_f} = \mathbb{R} - \left\{ 1 \right\}$ است. داریم $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f(x) = 1$، لذا خط $y = 1$ مجانب افقی است و از طرفی $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) =  + \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) =  - \infty $، لذا $x = 1$ مجانب قائم نمودار این تابع است.

همچنین نمودار تابع محورهای مختصات را در نقاط $( - 2,0)$ و $(0, - 2)$ قطع می‌کند. اکنون با گرفتن مشتق از تابع خواهیم داشت:

$f'(x) = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}\,\,,\,\,x \ne 1$

و بنابراین مشتق به ازای هر $x$ در بازه‌های $( - \infty ,1)$ و $(1, + \infty )$ همواره منفی است و لذا تابع $f$ در هر کدام از این بازه‌ها نزولی است. حال با گرفتن مشتق دوم خواهیم داشت.

$f''(x) = \frac{{6(x - 1)}}{{{{(x - 1)}^4}}} = \frac{6}{{{{(x - 1)}^3}}}\,\,,\,\,x \ne 1$

بنابراین برای هر $x$ در بازهٔ $( - \infty ,1)$ داریم $f''(x) \lt 0$، لذا تقعر منحنی به سمت پایین و برای هر $x$ در بازهٔ $(1, + \infty )$ داریم $f''(x) \gt 0$ و لذا تقعر منحنی به سمت بالاست. جدول رفتار تابع به‌صورت زیر است:

با توجه به اطلاعات این جدول می‌توان نمودار این تابع را به‌صورت زیر رسم کرد.

مثال: جدول تغییرات و نمودار تابع $f(x) = \frac{{3x + 4}}{{ - 2x + 1}}$ را رسم کنید.

حل: دامنهٔ این تابع $D = \mathbb{R} - \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$ است. داریم $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f(x) =  - \frac{3}{2}$، لذا $y =  - \frac{3}{2}$ مجانب افقی این تابع است و از طرفی $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} f(x) =  - \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} f(x) =  + \infty $، لذا $x = \frac{1}{2}$ مجانب قائم این تابع است. همچنین نمودار در نقاط $(0,4)$ و $( - \frac{4}{3},0)$ محورهای مختصات را قطع می‌کند.

$x \ne \frac{1}{2}$      و       $f'(x) = \frac{{11}}{{{{( - 2x + 1)}^2}}}$

بنابراین مشتق به ازای هر $x$ در بازه‌های $( - \infty ,\frac{1}{2})$ و $(\frac{1}{2}, + \infty )$ همواره مثبت و در نتیجه تابع $f$ در هر کدام از این بازه‌ها صعودی است. حال با گرفتن مشتق دوم خواهیم داشت:

$x \ne \frac{1}{2}$      و      $f''(x) = \frac{{44}}{{{{( - 2x + 1)}^3}}}$

بنابراین برای هر $x$ در بازهٔ $( - \infty ,\frac{1}{2})$ داریم $f'' \gt 0$، لذا تقعر منحنی به سمت بالاست و برای هر $x$ در بازهٔ $(\frac{1}{2}, + \infty )$ داریم $f'' \lt 0$، لذا تقعر منحنی به سمت پایین است. جدول رفتار تابع به‌صورت زیر است:

با توجه به اطلاعات این جدول و به کمک چند نقطهٔ کمکی می‌توان نمودار این تابع را به‌صورت زیر رسم کرد.